8- جایگشت و جایگاه آن در ریاضیات دوران راهنمایی:
ساعت ٩:۳٩ ‎ب.ظ روز ۱۳٩۱/۱٢/٢٢   کلمات کلیدی: جایگشت و جایگاه آن ،ریاضیات دوران راهنمایی:
جایگشت و جایگاه آن در ریاضیات دوران راهنمایی:

 


با توجه به اهمیت جایگشت در ریاضیات دوران راهنمایی و موارد کاربرد متعدد آن ،ضرورت دیده شد تا با ارائه مقاله ای اهمیت توجه هر چه بیشتر به مسائلی را که با جایگشت سر وکار دارند را به همکاران متذکر شویم شایان ذکر است که در نظرسنجی ای که در اولین همایش آموزش ریاضی در اسفند85 به عمل آمد بیش از دو سوم همکاران با ارائه بخشی جداگانه تحت عنوان جایگشت در کتاب درسی موافق بودند که این نظر به همراه دیگر نظرات آنها به دفتر تالیف کتب درسی ارجاع داده شد

تعریف جایگشت:

از دیدگاه مجموعه ای یک جایگشت از یک مجموعه تنها یک جابجایی بین عناصر آن است و به عبارت آماری ترتیب های قرار گیری دسته های از اشیاء در کنار هم را جایگشت گوییم و اگر بخواهیم از دیدگاه تابعی جایگشت را تعریف کنیم باید بگوییم:یک جایگشت رویA یک نگاشت از A بهA است که یک به یک و پوشا باشد

ما در این مقاله قصد داریم تا با بررسی جایگشت در ریاضیات دوران راهنمایی به تقسیم بندی آنها در علوم مختلف و شاخه های مختلف ریاضی بپردازیم

جایگشت در هندسه:

در یک مربع که به چهار قسمت متفاوت مساوی با استفده از خطوط تقارن عمودی و افقی تقسیم شده است هشت جایگاه داریم: 0 و 90 و 180 و 270 درجه و انعکاس نسبت به محمر xها و yها و انعکاس نسبت به خطy=-x وy=x که در جبر به آن گروه D4 یا گروه دو وجههی تقارنهای مربع گویند.

و یا در مثلث متساوی الاضلاع با مفروضات بالا دارای شش دوران 0 و 120 و 240 درجه و تقارن نسبت به سه محور تقارن است

در صفحه136 کتاب اول در مساله5:شش مربع مساوی به ضلع یک سانتی متر را کنار هم قرار دهید به طوریکه محیط شکل بدست آمده یکی از مقادیر 10،12 و18سانتی متر باشد.آیا می توانید با این 6مربع،شکلی بسازید کهمحیط آن از 10سانتی متر کمتر باشد؟ آیا می توانید با این 6مربع شکلی بسازید که محیط آن از 24سانتی متر بیشتر باشد؟

در هندسه کلاس سوم راهنمایی قسمت دوران نیز که چهار صفحه از کتاب به آن اختصاص داده شده که به هشت حالت دوران مربع و ترکیب دورانها پرداخته شده که قبلا به آن پرداخته شده است.

جایگشت در جبر:

یکی از قسمت های جایگشت جبری ذر ریاضیات راهنمایی،دوران پایه سوم است که علاوه بر جنبه هندسی از لحاظ جبری نیز حائز اهمیت است ابتدا به بحث جبری آن می پردازیم و سپس به بحث کتاب و ارتباط آنها.

اگر 8حالت ممکن دوران مربع را با حروف لاتین شماره گذاری کنیم آنگاه گروه جبری ایجاد شده تحت عمل ترکیب توابع یک گروه است که در کتاب نیز در تمرین 3 صفحه87 دو مورد از ترکیب تقارنها داده شده است و همین تمرین مثالی برای دور جبری به طول 2 است و شاید مقدمه ای بر اینکه همه جایگشت های زوج یک مجموعه زیر گروه نرمالی از آن است باشد همچنین در جبر مسائلی از قبیل جدول مربوط به عمل گروههای تقارن هر یک از شکل ای هندی و ترکیب آنها وجود دارد.

اما مساله دیگری که در کتاب دوم راهنمایی کمتر مورد توجه قرار گرفته کمتر مورد توجه قرار می گیرد و همکاران حل آن را به دانش آموز واگذار می کنند مساله زیر است:

حسین با میله های چوبی و گلوله هایی به رنگ قرمز و آبی میخواهد تعدادی کاردستی مانند شکل مقابل بسازد(مربع هایی که چها گوشه آن گلوله قرار دارد) باتوجه به رنگ گلوله ها، او چند نوع متفاوت از این کاردستی ها می تواند بسازد؟اگر گلوله ها سه رنگ باشد چند نوع متفاوت می تواند بسازد؟

جواب:اگر n تعداد چوب کبریتها و یا گلوله باشد آنگاه جواب قسمت اول 6n/4 و جواب قسمت دوم 18n/4است

جایگشت در فیزیک:

در بلورشناسی و فیزیک بلورها از گروههای تقارن در انواع شکلهای سه بعدی استفاه می کنند همچنین گروههای تقارنی توسط فیزیکدانان برای پیشگویی وجود برخی از ذرات بنیادی که بعدها به طور تجربی پیدا شده اند به کار رفته است

می توان گفت برای حدس زدن درصد وجود احتمال الکترون در منطقه ای خاص نیز از اصول جایگشت استفاده می شود

مسائل جایگشت با اصل شمارش (ضرب):

اصل ضرب: اگر عمل 1به m حالت و عمل 2 به nحالت انجام شود تعداد حالاتی که می توان دو عمل را با هم انمجام داد mn حالت است

در پایه اول در قسمت حل مساله صفحه 6 مساله ها ذهنیتی قوی را برای دانش آموز برای محاسبه فضای نمونه فراهم می کند

1- برای رفتن از شهر تهران به کرج سه راه وجود دارد :اتوبان،جاده مخصوص و جاده قدیم.اگر شخصی بخواهد از شهر کرج به قزوین برود از دو راه اتوبان و جاده قدیم می تواند استفاده کند.اگر مسافری بخواهد از شهر تهران به قزوین برود از چند راه می تواند استفاده کند؟

و هم چنین در ادامه صفحه10 سه مساله زیر آمده است:

2-زهرا نقاشی مقابل را کشیده است او می خواهد شلوارک پسرک را سبز،قرمز، آبی یا بنفش و پیراهن او را سبز ،زرد یا قرمز کند. او به چند شکل میتواند این نقاشی را رنگ کند

کاربرد جایگشت در هنرهای تجسمی:

یکی از بحث های مهم در هنرهای تجسمی تغییر و ابداع شکل است که در حقیقت جایگشت اجزای بریده شده یک شکل است مثلاً از طریق برداشتن قسمت یا قسمت هایی از یک شکل ساده هندسی مانند دایره می توان بی نهایت شکل جدید به دست آورد که هر کدام از آنها ماهیت مخصوص به خود را دارند

در بحث به دست آوردن حجم های جدید در هنرهای تجسمی یکی از راهها برداشتن قسمت یا قسمت هایی از یک شکل و در نتیجه تغییر دادن آن است و یا به معنایی دیگر جایگشت جابجایی قسمت محذوف شکل هندسی نسبت به کل شکل است که همین مساله در قسمت کسرهای اول راهنمایی برای رنگ زدن 8 حالت مختلف از 2/1 آمده است

یکی دیگر از بحث های ظریف هنرهای تجسمس تعادل و تناسب است که در حقیقت جایگشت اجزای مختلف برای رسیدن به یک تقارن از نظر بیننده است و تناسب یک مفهوم ریاضی است که در هنرهای تجسمی بر کیفیت رابطه مناسب اجزای اثر با یکدیگر و با کل اثر دلالت داردو تقریباً همه آثار هنری بر اساس نوعی تناسب به وجود آمده اند از این جهت تناسب یکی از اصول اولیه اثر هنری است که رابطه بصری هماهنگ اجزای آن را بیان می کند

انواع تعادل در هنرهای تجسمی1-تعادل متقارن: که در حقیقت تقارن نسبت به محورهای افقی،عمودی و مورب است 2-تقارن غیر متقارن:که بر اساس فاصله،اندازه ،جهت و تیرگی و بافت و جای آنها نسبت به یکدیگر در کادر است که آن راهم می توان نوعی جایگشت و تقارن به حساب آورد

جایگشت در احتمال:

یکی از کاربردهای جایگشت در احتمال تعیین فضای نمونه است که در مسائل ابتدای کتاب اول راهنمایی مانند تمام حالات برای رنگ پیراهن و شلوار پسر در مساله ای که قبلاً ذکر شد به آن اشاره شده استهمچنین در تعیین تعداد اعضای فضای نمونه در یک مجموعه تمام جایگشت های ممکن در آن 2 به توان n است که در ابتدای کتاب دوم در قسمت حل مساله به آن اشاره شد و همچنین در همین مساله زیر مجموعه های بدون عضو و یکی ای،دو تایی و سه تایی را خواسته است که در مورد یکی و دوتایی خود جایگشتی از حالات مختلف زیر مجموعه هاست

جایگشت در شیمی:

در فصول دو و سه شیمی عمومی 1(مورتیمر) به طور گسترده در مورد نحوه و ساختار قرار گرفتن الکترونها و پروتونها بحث شده است مثلاً در مورد ملکول آب و زاویه 120درجه سه بعدی میان اتمهای آن ساختارهای متفاوتی وجود دارد که هر کدام از آنها یک جایگشت از یک ملکول است

جایگشت در رمز گذاری:

یکی از روشهای معمول رمز گذاری روش جایگشت است در این روش کاراکترهای متن اصلی جابجا می شوند برای مثال کاراکتر اول به مکان سوم و کاراکتر سوم به مکان دوم و دومی به جای اولی منتقل می شود. یعنی رشته ali به lia تبدیل می شود و مساله زیر در ابتدای کتاب پایه اول تمرینی برای این امر است

3-چند عدد دو رقمی می توانید بنویسید که رقم یکان آنها یکی از عددهای 2،3یا4 و رقم دهگان آن یکی از عددهای 3،6،7،8ویا 9 باشد؟این اعداد را بنویسید.


 
 
 
 


داستان کوتاه

داستان کوتاه

  • انجمن